黎曼猜想被證明了是真的嗎？黎曼猜想說了些什么
阿蒂亞爵士的證明是否靠譜還有待數(shù)學(xué)界的確定，但是作為數(shù)學(xué)界最重要的猜想，黎曼猜想到底說了什么?又對(duì)世界有怎樣的意義?
2018年9月24日，在年度海德堡獲獎(jiǎng)?wù)哒搲希茽柶潽?jiǎng)和阿貝爾獎(jiǎng)雙料得主阿蒂亞爵士聲明證明了久負(fù)盛名的黎曼猜想，引起了廣泛關(guān)注。
阿蒂亞爵士的證明是否靠譜還有待數(shù)學(xué)界的確定，但是作為數(shù)學(xué)界最重要的猜想，黎曼猜想到底說了什么?又對(duì)世界有怎樣的意義?
應(yīng)廣大吃瓜群眾要求，大院er特別重發(fā)與黎曼猜想有關(guān)的文章。這一次，數(shù)學(xué)界是否將迎來一場(chǎng)激動(dòng)人心的改變?讓我們一起見證!
如果讓一名優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家用靈魂去換取某一個(gè)數(shù)學(xué)問題的答案，那這個(gè)問題，大多數(shù)職業(yè)數(shù)學(xué)家都會(huì)同意，它就是大名鼎鼎的黎曼猜想。這個(gè)由德國數(shù)學(xué)家黎曼(riemann)于1859提出的難題，已經(jīng)困擾世人一個(gè)半世紀(jì)。這也是德國數(shù)學(xué)家希爾伯特(hilbert)在1900年提出的23個(gè)問題中唯一懸而未決的重大問題。
黎曼猜想究竟有何神奇之處，竟讓如此多的數(shù)學(xué)家為此癡迷和魂?duì)繅?mèng)繞?在它那里，又藏著怎樣驚世駭俗的秘密?破譯這樣一個(gè)難題，真的會(huì)給數(shù)學(xué)和世界帶來激動(dòng)人心的改變嗎?以下為通往質(zhì)數(shù)的征途：
質(zhì)數(shù)探索
在自然數(shù)序列中，質(zhì)數(shù)就是那些只能被1和自身整除的整數(shù)，比如2，3，5，7，11等等都是質(zhì)數(shù)。4，6，8，9等等都不是質(zhì)數(shù)。由于每個(gè)自然數(shù)都可以唯一地分解成有限個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，因此在某種程度上，質(zhì)數(shù)構(gòu)成了自然數(shù)體系的基石，就好比原子是物質(zhì)世界的基礎(chǔ)一樣。
人們對(duì)質(zhì)數(shù)的興趣可以追溯到古希臘時(shí)期，彼時(shí)歐幾里得用反證法證明了自然數(shù)中存在著無窮多個(gè)質(zhì)數(shù)，但是對(duì)質(zhì)數(shù)的分布規(guī)律卻毫無頭緒。隨著研究的深入，人們愈發(fā)對(duì)行蹤詭異的質(zhì)數(shù)感到費(fèi)解。這些特立獨(dú)行的質(zhì)數(shù)，在自然數(shù)的汪洋大海里不時(shí)拋頭露面后，給千辛萬苦抵達(dá)這里的人們留下驚嘆后，又再次揚(yáng)長而去。
1737年，瑞士的天才數(shù)學(xué)家歐拉(euler)發(fā)表了歐拉乘積公式。在這個(gè)公式中，如鬼魅隨性的質(zhì)數(shù)不再肆意妄為，終于向人們展示出了其循規(guī)蹈矩的一面。
沿著歐拉開辟的這一戰(zhàn)場(chǎng)，數(shù)學(xué)王子高斯(gauss)和另一位數(shù)學(xué)大師勒讓德(legendre)深入研究了質(zhì)數(shù)的分布規(guī)律，終于各自獨(dú)立提出了石破天驚的質(zhì)數(shù)定理。這一定理給出了質(zhì)數(shù)在整個(gè)自然數(shù)中的大致分布概率，且和實(shí)際計(jì)算符合度很高。在和人們玩捉迷藏游戲兩千多年后，質(zhì)數(shù)終于露出了其漂亮的狐貍尾巴。
橫空出世
雖然符合人們的期待，質(zhì)數(shù)定理所預(yù)測(cè)的分布規(guī)律和實(shí)際情況仍然有偏差，且偏差情況時(shí)大時(shí)小，這一現(xiàn)象引起了黎曼的注意。
其時(shí)，年僅33歲的黎曼(riemann)當(dāng)選為德國柏林科學(xué)院通信院士。出于對(duì)柏林科學(xué)院所授予的崇高榮譽(yù)的回報(bào)，同時(shí)為了表達(dá)自己的感激之情，他將一篇論文獻(xiàn)給了柏林科學(xué)院，論文的題目就是《論小于已知數(shù)的質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)》。在這篇文章里，黎曼闡述了質(zhì)數(shù)的精確分布規(guī)律。
沒有人能預(yù)料到，這篇短短8頁的論文，蘊(yùn)含著一代數(shù)學(xué)大師高屋建瓴的視野和智慧，以至今日，...
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黎曼猜想是什么？黎曼猜想的提出者是個(gè)怎樣的人
2018年9月24日，在年度海德堡獲獎(jiǎng)?wù)哒搲?，菲爾茲?jiǎng)和阿貝爾獎(jiǎng)雙料得主阿蒂亞爵士的宣講引爆了數(shù)學(xué)圈。他聲稱自己證明了久負(fù)盛名的黎曼猜想(又稱黎曼假設(shè))。
一個(gè)傳說
不知從何時(shí)起，一個(gè)傳說悄然出現(xiàn)——誰若能證明黎曼猜想，誰將會(huì)不朽——不僅是抽象意義上的永垂青史，而且有實(shí)際意義上的長生不老!阿蒂亞爵士現(xiàn)年89歲，看上去正是這一傳說的佐證。
另一個(gè)佐證來自兩位數(shù)學(xué)家阿達(dá)馬和瓦萊·普桑。1896年，他們各自獨(dú)立地證明了一個(gè)比黎曼猜想稍弱的推論——素?cái)?shù)定理。果然，阿達(dá)馬活到了98歲，瓦萊·普?；畹搅?6歲。
出生于波蘭的數(shù)學(xué)家歐德里茲科提出了另一個(gè)說法，那就是：誰若否定了黎曼猜想，誰就會(huì)going to die。歐德里茲科甚至開玩笑說，其實(shí)黎曼猜想已經(jīng)被否定了，只不過那個(gè)倒霉蛋沒來得及發(fā)表文章就已死去。
一位大師
黎曼猜想是什么?它為何有如此巨大的魔力?這一切，還要從猜想的提出者黎曼說起。
1826年9月17日，伯恩哈德·黎曼出生于漢諾威王國東部的布雷斯倫茨村。直到14歲，黎曼才開始接受正規(guī)學(xué)校教育，之前都是身為牧師的父親在教他。
20歲那年，黎曼被格丁根大學(xué)神學(xué)院錄取，準(zhǔn)備子承父業(yè)。但在旁聽了大數(shù)學(xué)家高斯的課后，黎曼向父親坦承，他對(duì)數(shù)學(xué)的興趣遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了神學(xué)。慈祥的父親同意他以數(shù)學(xué)為職業(yè)。自此，黎曼逐漸成為了一名數(shù)學(xué)家;之后，世上才有了黎曼幾何、黎曼空間、黎曼積分……以及，黎曼猜想。
1847年，黎曼轉(zhuǎn)到柏林大學(xué)學(xué)習(xí)。兩年后，他回到格丁根大學(xué)攻讀博士。又過了兩年，他提交了一篇關(guān)于復(fù)變函數(shù)的論文，拿到博士學(xué)位?，F(xiàn)在，他的博士論文被當(dāng)作19世紀(jì)數(shù)學(xué)的經(jīng)典。但在當(dāng)時(shí)，該論文卻并未引起除高斯外其他數(shù)學(xué)家的關(guān)注，也許是因?yàn)槠渌枷胩傲税伞?/p>
1854年，黎曼成為格丁根大學(xué)的講師，1857年成為副教授，1859年升任正教授。同年8月，他被柏林科學(xué)院任命為通訊院士。對(duì)于年輕的數(shù)學(xué)家來說，這是一個(gè)崇高的榮譽(yù)。按照慣例，新院士要向科學(xué)院提交一篇新論文。于是，黎曼提交了一篇題為“論小于一個(gè)給定值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)”的論文。在論文中，黎曼附帶提出了一個(gè)猜想。從此以后，數(shù)學(xué)變得和以前不一樣了。
一個(gè)猜想
黎曼猜想的具體表述是：有一個(gè)特定的函數(shù)(后人稱之為黎曼ζ函數(shù))，除了一些比較普通的負(fù)偶整數(shù)零點(diǎn)外，它的其余非平凡零點(diǎn)的實(shí)部都是1/2。就是這個(gè)猜想，讓后世數(shù)學(xué)家如癡如醉，寢食難安。
對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的人來說，只需要知道黎曼猜想關(guān)注的是素?cái)?shù)分布問題即可，因?yàn)橄肱靼姿_實(shí)很困難。素?cái)?shù)，就是只能被1和它本身整除的正整數(shù)，如2、3、5、7、11等。人們發(fā)現(xiàn)，幾乎無法根據(jù)分布規(guī)律來尋找非常大的素?cái)?shù)，它們看上去是隨機(jī)出現(xiàn)的……真的是這樣嗎?黎曼覺得不是，他對(duì)此展開了研究，并把成果寫進(jìn)了1859年的論文中。
1900年8月8日，大數(shù)學(xué)家希爾伯特在第二屆世界數(shù)學(xué)家大會(huì)上作了一個(gè)著名的演講，提出了23個(gè)數(shù)學(xué)難題，黎曼猜想位列第8個(gè)。依賴...
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黎曼猜想被證明了嗎？它為什么這么重要
為什么大家都在關(guān)注黎曼猜想被證明這件事?
因?yàn)槔杪孪牒苤匾?，具體重要到什么程度呢?
因?yàn)橛?000多個(gè)數(shù)學(xué)命題是以黎曼猜想及其推廣形式的成立為前提的。，這意味著，一旦黎曼猜想被證明，那么這些數(shù)學(xué)命題都會(huì)榮升成定理。相反，如果黎曼猜想不被證明甚至推翻的話，那這1000多個(gè)數(shù)學(xué)命題中至少有一部分將會(huì)不可避免地‘陣亡’。
一個(gè)數(shù)學(xué)猜想牽一發(fā)而動(dòng)全身，與這么多的數(shù)學(xué)命題緊密關(guān)聯(lián)，在數(shù)學(xué)中是獨(dú)一無二，所以聽說它被證明了，大家都激動(dòng)了。
誰要能證明黎曼猜想，那真可謂是功成名就，一下就有了花不完的錢。
哥德巴赫猜想和費(fèi)馬猜想之所以著名，是因?yàn)槠浜?jiǎn)單到連小學(xué)生都能理解的描述，而黎曼猜想，需要一定的高度的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)才能理解。
美國數(shù)學(xué)家蒙哥馬利曾說過，“如果有魔鬼答應(yīng)讓數(shù)學(xué)家們用自己的靈魂來換取一個(gè)數(shù)學(xué)命題的證明，多數(shù)數(shù)學(xué)家想要換取的將會(huì)是黎曼猜想的證明?！?/p>
為什么民間數(shù)學(xué)家癡迷哥猜，而不關(guān)心黎曼猜想之類更有意義的問題呢?一個(gè)重要的原因就是，黎曼猜想對(duì)于沒有學(xué)過數(shù)學(xué)的人來說，想讀明白是什么意思都很困難。而哥德巴赫猜想對(duì)于小學(xué)生來說都能讀懂。數(shù)學(xué)界普遍認(rèn)為，這兩個(gè)問題難度不相上下。民間數(shù)學(xué)家解決哥德巴赫猜想大多是用初等數(shù)學(xué)來解決問題。一般認(rèn)為，初等數(shù)學(xué)無法解決哥德巴赫猜想。退一萬步講，即使哪天真有一個(gè)牛人，在初等數(shù)學(xué)框架下解決了哥德巴赫猜想，有什么意義呢?這樣解決，恐怕和做了一道數(shù)學(xué)課的習(xí)題的意義差不多。
當(dāng)年希爾伯特曾經(jīng)宣稱自己解決了費(fèi)爾馬大定理，但卻不公布自己的方法。別人問他為什么，他回答說：“這是一只下金蛋的雞，我為什么要?dú)⒌羲?”
因?yàn)椋诮鉀Q費(fèi)爾馬大定理的歷程中，很多有用的數(shù)學(xué)工具得到了進(jìn)一步發(fā)展，如橢圓曲線、模形式等。所以，現(xiàn)代數(shù)學(xué)界在努力的研究新的工具，新的方法，讓“下金蛋的雞”能夠催生出更多的理論。
而黎曼猜想簡(jiǎn)單來說，就是論證質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)的猜想。具體說就是在某個(gè)數(shù)以內(nèi)的質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)不超過多少。
舉個(gè)例子，1000以內(nèi)有多少個(gè)質(zhì)數(shù)?
黎曼指出，如果某個(gè)數(shù)字為質(zhì)數(shù)，就會(huì)滿足某些性質(zhì)，然后得出一個(gè)級(jí)數(shù)方程，具體公式網(wǎng)上有。
而該方程在復(fù)數(shù)域里面的零根(比如x^3=0，在實(shí)數(shù)域里面只有x=0,復(fù)數(shù)域有三個(gè)，0 e^±2/3pi*i。)，所有的復(fù)數(shù)域上的零根，實(shí)部都是1/2。
簡(jiǎn)單來說，這是一個(gè)復(fù)數(shù)方程解方程的問題，并不是很抽象。
舉個(gè)例子證明1000以內(nèi)不超過20個(gè)質(zhì)數(shù)，黎曼通過方程來證明自己的結(jié)論。證明黎曼猜想就是解方程，方程也只有一個(gè)不是方程組。總之呢，就是解一個(gè)很難的方程，解出來了黎曼猜想就證明了。
證明之后，我們?nèi)祟惥椭浪財(cái)?shù)的個(gè)數(shù)了。比如100000以內(nèi)，質(zhì)數(shù)數(shù)目不超過多少了。
順便說一句，復(fù)數(shù)域解方程和實(shí)數(shù)域不太一樣，沒有求根公式，沒有通解類求根公式，主要靠畫圖拼湊法解，自由度比較高。稍微學(xué)過一點(diǎn)數(shù)學(xué)的人都能看得懂解法，但大家都想不出來怎么解。
那么黎曼猜想真的被證明了嗎?
截止2018年9月24...
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